미분기하: manifold에서의 미분이란

출처:http://blog.daum.net/about_math/11221817
100년쯤전에 리만이 일반적인 기하공간에 대한 논문을 발표하고 기하학의 체계가 확 뒤집어졌다.
데릴 홈이 얘기하기를 리만이 가우스의 제자였는데( 아마 마지막 지도학생이었던 것 같다. 가우스는 깐깐한 지도교수로 유명했던 듯하다.), 원래 하던 연구는 기하가 아니었는데, 가우스가 일반적인 공간에 대한 논문으로 박사학위 논문을 발표하라고 했다고 한다.
그래서 리만은 일반적인 기하공간에서의 기하적 성질을 밝히는 논문을 준비해서 발표하고, 그 논문을 준비하느라 맘고생을 많이해서 몸에 병까지 났다고 한다. 내가 알기로 가우스는 리만의 논문발표에 박수를 보냈다고한다. 가우스가 박수를 보낸 논문...
암튼, 그 리만기하학은 이제 비유클리드 기하학의 거대한 기하체계이며, 아인슈타인의 일반상대성 이론의 기초이며, 현대 수학의 찬란한 모습을 보여준다.
내가 리만기하학이나 미분기하학 수업을 들어보지는 못했다. 하지만, 해밀톤 역학에 필요한 exterior calculus라는 수학적 기반이 이러한 일반적인 기하체계에서 정의되다보니 미분기하의 기본개념들을 많이 접하게 되고, 맘고생도 많이 하게 되었다. 그래서 그동안 이해한 미분기하의 단면을 정리해두고자 한다.
미분기하는 매니폴드라는 기하학적인 대상에 대해서 이야기한다. 매니폴드란 구의 표면처럼 부드러운 곡면을 지닌 수학적 공간이다. 이 매니폴드(manifold)에는 좌표차트(coordinate chart)라는 미분가능한 일대일함수가 정의되어야한다. 이 coordinate chart는 매니폴드에서 유클리드 공간 R^n으로의 국소적 미분가능한 일대일함수(local diffeomorphism)이다. 위의 예에서 구면은 2차원 매니폴드이다. 즉, 이 코디네이트 챠트를 통해서 매니폴드를 국소적으로 유클리드 공간의 좌표계를 가지고 성질들을 분석해 낼 수가 있다. 이러한 개념은 처음에 굉장히 이해가 되지를 않았다. 왜 이러한 정의가 필요한 것인지, 그리고 이러한 정의가 어떤 의미를 지니는지...
이제는 그런 정의가 조금씩 보이기 시작한다. 우선 이 국소적인 유클리드 공간과의 대응은 매니폴드를 수학적으로 다루는 중요한 바탕을 제공한다. 국소적으로 대응시킬 수 있는 유클리드 공간은 벡터공간이고 우리는 벡터공간에서 많은 일들을 할 수가 있다.
중요하게는 이러한 매니폴드와 유클리드 공간과의 diffeomorphism이 매니폴드에서의 미분이라는 개념을 정의하는 중요한 출발점이 된다는 것이다. 이 매니폴드에서의 미분의 개념을 이해하는게 리만기하학이나 다른 일반적인 기하학의 매우 중요한 요소가 된다.
우리가 특수하게 유클리드 공간에서의 벡터함수의 미분을 보면( 벡터미적분학에서 배우는 모든 이론은 이런 유클리드 공간에서의 미적분학이다. 이는 직접적으로 비유클리드 공간에서의 미적분으로 연결될 수가 없다.) 유클리드 공간, 예를 들어 2차원 평면을 생각하자, R^2에서 부드러운 벡터장(smooth vector field)가 정의되어 있다고 하자. 즉, 2차원 평면의 모든 지점에는 그 지점에서 시작하는 벡터가 하나씩 정의되어 있고, 그 벡터는 바로 옆 지점의 벡터의 부드러운 변화이다. 이때에 이 벡터장에서 미분이란 무엇을 뜻할까? 평면의 어느 지점 P에서 이 벡터장의 미분은 그 지점에서 바로 옆 지점으로 옮겨갔을 때에 벡터장의 변화율이 어떻게 되는가를 설명하는 양이다. 예를들어 지점 P에서 지점 Q로 옮겨갔다고 하자. 두 지점에는 각자 벡터장의 벡터가 할당되어 있고, 우리는 Q의 벡터에서 P의 벡터를 빼고( 그 차는 또다시 벡터가 된다.) 그 차이를 두지점 P,Q사이의 길이로 나눈 값에서 분모를 0으로 보내는 극한을 통해 벡터장의 미분값을 찾아낸다. 엄밀히 말해 이 미분은 벡터장의 PQ방향의 방향미분이 된다. 이렇게 찾아낸 지점P에서의 벡터장 함수의 미분은 결국 P지점에서 출발하는 평면에서 벡터 PQ를 벡터장의 벡터 f(P)f(Q)로 근사하는 선형함수가 된다. 모든 미분은 결국 부드럽게(smooth) 정의된 필드함수(field function)들, 즉 벡터장의 변화를 이 벡터장이 정의된 기하공간의 변화, 즉 PQ벡터와 연결시켜주는 선형함수이다. 이러한 벡터장의 미분이 가능하려면 매우 중요하게 두 지점 P,Q에서 정의된 벡터장의 두 값의 차가 정의되어야 한다는 선행조건이 필요하다. 이러한 f(Q)-f(P)가 가능한 이유는 오직 우리가 바라보는 벡터장이나 기본공간이 모두 유클리드 공간이라 어디에서 정의된 벡터든 평행하게 이동해와 끝을 맞춰서 빼는 벡터의 차가 정의된다는데에 가능한 이유가 있다.
이러한 벡터의 차는 기본 공간이 리만공간이나 비유클리드공간인 부드러운 매니폴드(smooth manifold)가 되면 두 지점에서 정의된 벡터장의 차가 가능하지 않게 된다. 예를 들어 구면에 정의되어 모든 구면의 지점에서 구면에 평행한 부드러운 벡터장(smooth tangent vector field)를 예를 들어보면, 구면의 두지점 P, Q에서의 접벡터(tangent vector)의 차를 만들었을 때에 그 차는 더이상 구면에 접하는 벡터(tangent vector)가 아니게된다. 그리고 이 벡터를 가지고 구의 곡면에서 정의된 좌표계( 유클리드 좌표계가 아니며, 구면을 따라 휘어진 좌표계일 것이다)에서 두지점 사이의 거리(구면의 거리)로 나누고 극한을 계산하면 그 극한은 더이상 선형함수가 되지 않을 것이다. 여기서 우리는 두가지 문제점을 경험하게 된다. 구면에서 정의된 두지점 P와 Q라는 두 지점을 연결하는 벡터가 정의되지 않는다. 그리고 두 지점에서 정의된 벡터장의 값(벡터들)의 차가 정확하게 정의되지 않는다는 것이다. 두가지 문제점 중에서 첫번째 문제의 해결의 실마리는 매니폴드의 정의와 관계가 있다. 만약 Q가 P에 매우 가까운 점이라면은(국소적인 챠트함수가 P,Q모두에서 정의되어 진다면), 우리는 P,Q를 연결하는 벡터를 구면이 아닌 챠트에 의한 이미지공간인 평면 공간에서의 c(Q)와 c(P)의 차(c(*)는 챠트함수이다.즉 매니폴드에서 유클리드 공간으로의 미분가능한 일대일함수이다.)로 벡터를 만들어 낼 수가 있다. 여기에 매니폴드라는 정의의 중요성이 존재한다.
그리고 두번째의 문제점, P와 Q에서 각각 정의된 벡터장의 두 벡터의 차이를 어떻게 만들어 줄 것인지는 미분기하학에서의 연결(connection)이라는 개념으로 해결되어진다. 이 연결(connection)이라는 개념은 매니폴드의 개념을 바탕으로해서 미분기하학의 핵심개념이 된다. 이 connection이라는 개념을 통해서 P에 가까운 점 Q의 벡터장 값을 P로 옮겨와( 평행이동의 개념이 된다. fullback이라고 한다.) P에 원래 있던 벡터와의 차를 계산하게 된다. 이때 P에서의 두 벡터의 차는 접평면(tanget space)라고 하는 벡터공간에서의 벡터연산으로 차를 정의하는게 가능하다.
이렇게 위의 두가지의 문제점이 해결되었을 때에 비로소 부드러운 매니폴드에서의 미분이 정의가 가능하게 되고, 이는 최근의 물리학의 강력한 이론적 배경이 되는 것이다. 위의 매니폴드라는 개념의 정의와 connection의 개념은 함께하며 이를 바탕으로 여러가지 벡터미적분학의 개념들이 일반화 될 수 있는 토양을 제공한다.
그런데 재밌는 것이 이 connection( Levi-Civita parellel transportation)을 만들어 내는 방식이 한가지가 아니라는 것이다. 이 코넥션은 여러가지 독립된 방식으로 만들어 내는 것이 가능하다.
우선 리만기하에서는 메트릭텐서(metric tensor)라는 녀석이 이 connection을 제공한다. 즉 이 metric tensor가 manifold의 모든 점에서 정의되어 있을 때에 이 metric tensor를 이용해서 connection을 만들어 낼 수가 있고, 이 connection은 크리스토펠 심벌(christoffel(?) symbol)이라고 불린다.(조금 틀렸을지도 모른다.)
그리고 꼭 이 connection이 리만곡면에서만 정의되는 것이 아니라, metric tensor가 정의되지 않더라도(더이상 리만공간이 아니게 된다.), 독립적으로 connection을 정의하는 것이 가능하다.
그리고 세번째로,( 이 녀석이 내가 공부하는 쪽의 중요한 기본개념인 듯하다.) 만약에 주어진 smooth manifold가 그룹의 성질을 지니면( 즉 공간의 임의의 두지점사이에 연산이 정의된다. 그룹의 개념은 현대대수학, abstract algebra의 가장 기본적인 개념이다.), 즉 주어진 매니폴드가 Lie Group( smooth manifold which is a group)이 된다면은 우리는 자동적으로 connection을 정의할 수가 있고, 바로 Lie derivative를 Lie group 매니폴드에 정의된 임의의 필드함수(벡터장, 텐서장 등등)에서 정의해 줄 수가 있다. 즉 Lie Group에서는 우리는 자연스레 미분, 적분을 할 수 있는 길이 열리는 것이다.
위의 세가지의 다른 방식의 connection의 정의는 분명히 서로 다른 것이며, 독립적으로 정의되어 진다. 하지만, 저 세가지 방식의 미분의 정의는 기본적으로 미분이 지녀야 할 성질들(1. 선형함수여야 하며, 2. 라이프니츠 원리를 만족해야 하며, 등등)을 만족시키는 녀석들로 정의되어지고, 만약에 Lie Group인 매니폴드가 여기에 metric tensor가 정의되어 진다면, 두가지의 미분은 어떠한 방식으로 연결되어질 수 있게된다.
내가 다루어야 할 매니폴드는 중요하게 Lie Group이다. 그러므로 Lie derivative의 개념을 이해해야 하는데 이놈을 이해하는데만 무려 6개월이 걸렸다. 아공... 아직도 이 놈을 써먹으려면 1년은 더 공부해야 할 듯하다. 하지만 이제 Lie Group은 역학에서 매우 중요한 개념이며, 물리적 상황에서 연속변환(continuous transformation)을 설명하는 유일한 방법으로, 해밀턴 역학을 제대로 이해하려면 필수적인 수학이다. 이러한 일반적 공간인 smooth manifold로서의 Lie group은 이제 해밀턴 역학, 양자역학, 제어역학(control theory), 유체역학, 그리고 이 들을 접근하는 미분방정식(ordinary and partial differential equation)의 중요한 접근방식이 되고 있다. 이제 겨우 조금씩 보이기 시작하는 저 개념들, 누가 강제해서 다가갈 수 있는 녀석이 아닌 것 같다. 오직 나 자신의 의지와 저 녀석의 힘을 보고 싶다는 열정을 통해서만 접근이 가능하겠지. 한가지 다행스러운 일은 벌써 지난 수십년간 저 녀석의 힘과 가능성을 보고 이시대의 위대한 수학자, 물리학자들이 열정을 다해 달려가고 있는 길이라는 점에 믿음과 희망이 있다는 것이다. 적지않은 수의 사람들이 찾아가는 아름다운 산행길이라는 이정표는 그 길을 막 접어든 나의 발걸음을 가볍게 한다. 지금 느끼는 이 마음을 잊지 않기를 소망하면 초보 수학자의 거북이 걸음을 담아보았따.