2. 상미분이나 편미분은 df/dx형인데 전미분은 그냥 dx 인것이 확실이 납득이 안갑니다.
질문 자체가 다소 틀렸습니다.
상미분의 기호는 df/dx 이지만, 편미분의 기호는 ∂f/∂x 이고 읽을 때는 "round f round x" 라 읽습니다.
상미분은 1변수 함수에만 적용되고, 편미분은 다변수 함수에만 적용됩니다.
전미분 역시 다변수 함수에만 적용됩니다. 질문에서 전미분을 "dx"라고 쓴 것은 틀린 것으로 "df"라 해야 할 것입니다.
다변수 함수 f(x,y,z) 에 적용되는 편미분과 전미분의 차이는 다음과 같습니다.
미분은 변수값의 변화량에 대한 함수값의 변화량으로 정의됩니다.
다 변수의 경우 변수가 여러 개인 관계로 어떤 변수를 변화시키느냐에 따라 함수값의 변화량이 달라집니다. 따라서 여러 변수중 하나만을 변화시키는 편미분의 경우는 그 변화시키는 변수가 어떤 것인지 분명히 명기해야 하므로 ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z 등과 같이 변수 변화량을 반드시 함께 나타내어야 합니다.
반면 전미분의 경우 어느 한 변수를 변화시키는 것이 아니라 모든 변수를 다 변화시키기 때문에 df/dx 라든가 ∂f/∂x 등은 그 자체로 틀린 표현입니다.
전미분으로 df 만 있는 것은 아닙니다. df(x,y,z)/dt 도 전미분입니다. 단 이 때 미분변수 t 는 함수 f 의 직접 변수가 아니라, 함수 f 의 변수인 x, y, z 의 매개 변수일 때 의미가 있습니다.
전미분을 df(x,y,z)/dt 보다는 함수변화량 df 에 비중을 두는 것은 매개변수에 대한 전미분이
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz
로부터 쉽게 얻어질 수 있기 때문입니다.
