리그룹(Lie group)과 리알져브라(Lie algebra)에 관하여

Lie group이 왜 이 이름을 가지게 되었느냐하면 이 이론을 처음으로 발견하고 엄청나게 많은 것을 파헤쳐놓은 사람이 노르웨이 수학자 Sophus Lie 라는 사람이었기 때문이다. Lie는 대략 1900근처에 살았던 사람이고, 그 시기에는 리만, 포엥카레 이런 현대 수학의 거장들이 함께 살고 있었다. 1800-1900대의 엄청난 수학의 황금기는 저런 너무나 매력적인 수학을 사랑했던 열정적인 사람들이 있었기에 그 시절이 아름다웠지 않나 싶다. 나중에 세계대전으로 많은 혼란의 시기를 거치지만, 그런 척박한 환경들 속에서 그들이, 동시대의 수학자들이 열정을 지니고 매진할 수 있었음은 정말 존경스러운 일이다. 지금 대학을 진학하는 한국의 많은 어린 학생들이 자신들이 추구하는 열정을 쫓아 대학의 학과로 진학하는 것이 아니라 사회적 분위기에 휩쓸려 수학이나 물리학에 뛰어난 재능과 가능성(재능은 실제 더 깊고 넓은 공부를 하고난 후에 밝혀지는 것이기에 재능이라 하기는 좀 뭣하지만)을 지닌 학생들이 의대로 진학하는 현실은 지난 시절의 수학자들의 삶이 얼마나 가치있었는지를 보여준다.

어쨋건 소개하고자 하는 내용은 리그룹에 대한 내용이다. 네이버에서 검색을 해 보았는데도 제대로 나오지 않기에 간단한 소개를 해 볼까하는 생각인데 솔직히 나 스스로 리 그룹에 대한 깊은 이해가 없고, 아직 책도 제대로 읽어보지 않았다. 하지만 그 가능성과 방향을 얘기하는 것은 가능할 것 같기에...

Lie는 갈로아가 발견한 다항식의 해를 찾는 공식이 존재하는 상황이 그 주어진 다항식의 해의 집합의 대칭성에 기인한다는 위대한 대수학의 발견에 감동을 먹고는 미분방정식에도 갈로아처럼 대칭성의 이론을 찾아낼 수 있지 않을까하는 접근을 시도하였다.

그의 이러한 시도는 기존의 discrete group에 대한 관찰( 원소가 유한한 그룹)이 아니라 그룹의 원소가 무한하고, 또한 연속적인 집합, 즉 그룹이 부드러운 곡면(smooth manifold)가 되는 집합을 관찰하게 된다. 이러한 그룹을 우리는 Lie group이라고 부른다. 여기서 그룹이나 smooth manifold에 대한 정의는 생략한다.

그렇다면 이러한 Lie group이 어떻게 나오는 것일까? 이러한 리그룹은 바로 연속변환이라는 놈한테서 나오게된다. 가령 좌표변환을 생각해보면 우리가 기존의 좌표계를 새로운 좌표계로 변환시키는 선형적인 변환을 물리학이나 수학에서 많이 사용한다. 그런데 이런 좌표변환이 한번만 이루어지는 것이 아니라 시간에 따라 연속적으로 만들어낸다고 해보자. 즉 평면의 x-y축을 연속적으로 회전시키는 상황이 되고 이때에 평면의 한점 P(x,y)의 좌표는 연속적으로 변하게 된다. 이러한 연속적인 좌표변환은 바로 리그룹을 이루게된다.

여기서 두개의 서로다른 변환은 함수의 composition, fog(x)=f(g(x))라는 연산을 통해서 그룹이된다. 그리고 이 변환의 공간은 회전 변환의 경우 0-2pi까지의 원과 같은 연속적인 곡선, 즉 smooth manifold가 된다. 이러한 관점은 공간에서 물체의 움직임도 이러한 연속변환의 관점에서 바라볼 수 있게 해준다.

그리고 이러한 연속적인 변환이 이루는 그룹이 smooth manifold라는 관점은 이 리그룹에서 미분이라는 해석적 접근을 가능하게하여 미분방정식을 바라보는 구조적인, 대칭성을 찾아주는 접근인 리그룹이론의 토대를 제공한다.

그리고 재밌는 것이 리그룹은 어떤 대칭성( 오른쪽 혹은 왼쪽 이동에 대한 대칭성이라고 한다. 좀 공부해야 안다.)을 지니는 리그룹, 즉 smooth manifold위의 벡터장이 그룹의 항등원(identity element)에서의 접평면(tangent space)에서의 원소와 하나씩 대응이 된다는 것이 밝혀진다. 이러한 항등원에서의 접평면은 굉장히 중요한 역할을 한다. 그 이유는 이 접평면이 알저브라 구조를 지닌다는 사실과 관련이 있다. 즉 리알저브라는 리그룹에다가 이제는 또다른 하나의 연산(곱연산)이 주어진 구조가 된다.

이제 상황은 어떤 자연적인 물리현상이 그 현상을 바라보는 리그룹에서 왼쪽 이동에 대한 대칭성을 지닐때에 이 물리현상은 복잡한 매니폴드가 아니라 리알저브라에서, 혹은 이 리알저브라(Lie algebra)가 선형공간, 혹은 벡터공간이 되기때문에 그에 대응하는 dual space인 daul to Lie algebra공간이라고 하는 너무나 단순하고 매력적인 공간에서의 현상으로 단순화시켜서 바라볼 수 있게된다.

솔직히 그 이론의 매력을 부족한 실력으로 설명하는 것이 쉽지 않기에 이정도로 구체적인 내용은 소개를 생략한다.

그렇다면 이러한 리 그룹이론은 어떻게 쓰일 수 있을까? 시작부터 리그룹이론은 자연계의 현상 속에 내재되어있는 대칭성을 찾아주고, 그 대칭성에 대한 구조적인 이해를 하려는 시도이다. 그렇기에 거의 모든 자연계의 역학적 운동들을 이 리그룹이론을 적용하여 매우 아름답게 이해하는 접근이 가능하다. 가령 z-축에 대해 대칭성을 지니는 팽이의 운동을 묘사하는 수학은 이공계의 대학원 과정에서나 설명이 가능하며 뉴터니안 관점에서 굉장히 복잡한 수학적 접근을 통해서 그 운동을 설명하는 오일러 방정식이 유도되어진다. 하지만, 리그룹 이론의 대칭성을 이용하는 접근이 이 오일러 방정식을 굉장히 쉽고 빠르게 유도하는 길을 열어줄 수가 있다. 팽이는 기본적으로 매우 대칭적인 모습을 지니고 있다. 그렇기에 이러한 대칭성에 대한 접근은 팽이의 운동에 대한 근본적으로 매우 중요한 접근이고 이러한 접근을 가능하게 하는 길이 리그룹 이론이 되는 것이다.

팽이의 운동을 한번 보라. 저 단순한 팽이도 너무나 오묘한 운동을 보여준다. 그리고 그러한 이해는 우리가 많은 역학적 상황에 대한 이해를 가능하게 하는 멋진 모델이 될 수가 있다. 가령 우주에 떠다니는 인공위성의 운동을 제어하기를 원한다면은 저런 팽이의 운동쯤은 가뿐히 이해할 수 있어야 하지 않을까?

매우 매력적인 이러한 자연계의 운동은 막상 공부를 시작해보면 그 오묘함과 난해함, 복잡함이 처음의 경이로움에 대한 매력을 잊게만들고, 공부하는 자신을 좌절과 회의에 빠지게하여 포기하게 만든다. 하지만, 그러한 이해는 멋진 자연의 원리와 운동을 이해하려는 확고한 의지와 열정이 있다면 충분히 이겨낼 수 있는 과정이고, 그러한 과정은 이런 리그룹이라는 멋진 수학을 통해서 가능할 것이라는 예측을 담아본다. 대칭성, 아마 이 단어가 자연계를 이해하는 가장 중요한 단어가 아닐까 한다.